0%

當△t越來越小，2＋△t就越來越接近2，時間段就越來越窄。

所以當x＞0時。

只見此時此刻。

而約翰斯里波蒂的那封信件中，提及的正是帕斯卡公開的三角圖形。

那麼當n=k＋1時，令函數f(k＋1)=e^x－［1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)］！（x＞0）

「牛頓先生，您對導數有了解么？」

在如今這個時間點，小牛對於求導還是比較熟悉的，只不過還沒有歸納出系統的理論而已。

e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！（x＞0）

也就是說……

眼下已經時值1665年末，小牛對於導數的認知其實已經到了一個比較深奧的地步了。

那位未曾謀面的韓立爵士，僅僅是留下的幾處隨筆就能為自己撥雲見日，僅假借肥魚這個不知相隔多少代的弟子之手，便能為自己推開一扇大門。

「肥魚，負數、我推出了負數！一切都搞清楚了！

這個問題的本質實際上是在對初生微積分的一種拷問，用「無限細分」這種運動、模糊的詞語來定義精準的數學，真的合適嗎？

由此一來。

總而言之。

就這樣過了幾分鐘，小牛方才回過神。

看來自ｈｅtｕboｏk.cｏｍ•ｃｏm己的數理之路，依舊任重道遠啊……

只不過徐雲在這裏留了一手，沒有告知小牛n為負數的時候就是無窮級數這件事。

徐雲見狀思索片刻，轉身離開了屋子。

那麼韓立爵士本人的學識又能達到什麼樣的高度呢？

最後徐雲寫到：

筆尖與稿紙接觸的聲音響起，一道道公式被飛快列出。

小牛繼續點了點頭，言簡意賅的蹦出兩個字：

偶爾還會出現一些倒霉蛋算著算著，忽然發現自己這輩子的研究其實錯了的情況。

當n=0時，e^x＞1。

只見他直接無視了身邊的徐雲，一個身位竄回座位，飛快的開始演算了起來。

很快。

只見他的眼中布滿了血絲，用力的朝徐雲揮了揮手中的稿紙：

按照現代微積分的觀念，貝克萊是在質疑lim△t→0是否等價于△t=0。

貝克萊由此引發的一系列討論，便是赫赫有名的第二次數學危機。

由假設知f(k＋1)'＞0

也不知道是不是太過激動的緣故，小牛壓根沒注意到，自己的假髮都被震落到了地上。

這個時代的很多人都是一邊利用數學工具做研究，一邊用得出來的結果對工具進行改良優化。

楊輝三角，對，下一步就是研究楊輝三角！」

這個時空https://www.hetubook.com.com數學史的節點，第一次被改變了！

假設當n=k時結論成立，即e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！（x＞0）

因為按照正常的歷史線，無窮小量可是出自小牛之手，推導的過程還是交給他本人就好了。

屋子裡，徐雲正在侃侃而談：

沙沙沙——

二項式指數不用去管它是正數還是負數，是整數還是分數，組合數對所有條件都成立！

那麼當x=0時。

按照正常軌跡。

因為導數大於0，所以f(x)＞f(0)=0

於是牛頓想了一個很聰明的辦法：

到如果不是0，4＋△t就永遠變不成4，平均速度永遠變不成瞬時速度。

但了解數學的人都知道，廣義二項式定理其實就是複變函數的泰勒級數的特殊情形。

如果是0，那麼計算速度的時候怎麼能用△t做分母呢？鮮為人……咳咳，小學生也知道0不能做除數。

就這樣，兩個小時一轉而過。

小牛要等到明年一月份收到一封約翰·提斯里波蒂的信件后，才會開竅般的攻克一系列的疑點難點。

誠然。

數學家的思維，就是將沒學過的問題轉化成學過的問題。

就在徐雲盤算著自己下一步該如何落子的時候，木m.hetubook.com.com屋門忽然被人從中推開，小牛一臉激動的從內中竄了出來。

徐雲見狀又寫到：

楊輝三角這個名字，也將會被鐫刻在數學王座的基底之上，那個本就該屬於它的位置！

說著徐雲拿起筆，在紙上寫下了一行字：

所以當n=k＋1時f(k＋1)=e^x－［1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)］！（x＞0）成立！

華夏先賢之光，在這條時間線里將永不蒙塵！

取一個」很短」的時間段△t，先算算t=2到t=2＋△t這個時間段內，平均速度是多少。

甚至有些悲觀黨宣稱數理大廈要坍塌了，我們的世界都是虛假的——然後這些貨真的就跳樓了，在奧地利還留有他們的遺像，某個撲街釣魚佬曾經有幸參觀過一次，跟七個小矮人似的，也不知道是用來被人瞻仰還是鞭屍的。

小牛點了點頭，示意自己明白。

隨意在牆角找了個位置，抬頭看起了雲捲雲舒。

速度=路程/時間，這是小學生都知道的公式，但瞬時速度怎麼辦？

則e^x－［1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！］＞0

論述完畢，徐雲放下鋼筆，看向小牛。

這個級數與二項式定理是兼容的，係數符號也是https://m.hetubook.com.com與組合符號兼容的。

有了二項式開展的初步成果，小牛必然要不了多久時間，便會在楊輝三角的協助下構築出初步的流數術模型。

f(k＋1)=e^0－1－0/1！－0/2！－.－0/k＋1！=1－1=0

對f(k＋1)求導，可得f(k＋1)'=e^x－1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！

在求導方面，小牛的介入點是瞬時速度。

想到這兒，徐雲不由深吸一口氣，快步走上前：

v=s/t=（4△t＋△t^2）/△t=4＋△t。

比如說知道路程s=t^2，那麼t=2的時候，瞬時速度v是多少呢？

能想出這種展開式的天才，稱得上一句數學鬼才絕不為過吧？

「牛頓先生，這裡是從x^0開始的，用0作為起點討論比較方便，您可以理解吧？」

看著全身心投入計算的小牛，徐雲也不生氣，畢竟這位祖師爺就是這種脾氣，可能也就在威廉·艾斯庫的面前會相對好點了。

原本自己以為笛卡爾先生已經天下無敵了，沒想到居然還有人比他更為勇猛！

後來貝克萊發現了這個方法的一些邏輯問題，也就是△t到底是不是0。

綜上所屬，對任意的n有：

隨後徐雲繼續寫道：

所以二項式定理可以由自然數冪擴充hetubook.com.com至複數冪，組合定義也可以由自然數擴充至複數。

導數和積分是微積分最重要的組成部分，而導數又是微分積分的基礎。

接著徐雲在f(k＋1)上畫了個圈，問道：

如果△t小到了0，平均速度4＋△t就變成了瞬時速度4。

看著滿臉紅光的小牛，徐雲心中也不由浮現出了一絲改變歷史的振奮感。

「牛頓先生，韓立爵士計算髮現，二項式定理中指數為分數時，可以用e^x=1＋x＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！＋……來計算。」

以目前小牛的研究進度，還不太好理解切線與面積的真正內在含義。

「恭喜您了，牛頓先生。」

學過數學的朋友應該都知道。

看著面前東方面孔的徐雲，小牛的臉上也裸|露了一股感慨。

△t越來越接近0時，那麼平均速度就越來越接近瞬時速度。

縱使今後數百年世事變遷，滄海桑田，依舊無人能夠撼動！

這位後世物理學的祖師爺正瞪大著那一雙牛眼，死死地盯著面前的這張草稿紙。

但那是後來的事情，在小牛的這個年代，新生數學的實用性是放在首位的，因此嚴格化就相對被忽略了。

這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現，才會徹底有了解釋與定論，並且真正定義了後世很多同學掛的那棵樹。

「了解。」

當然了。