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好，現在我們來做個小學生水準的數學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數位，而是兩張表格：I和II。I×II等於幾？

好，我們再來回顧一下這兩張表到底代表了什麼意思。根據海森堡的規則，數位的橫坐標代表了起點站，縱坐標代表了終點站。那麼矩陣I第一行第一列的那個一就是說，你坐巴士I號線，從A地出發，在A地原地下車，車費要一塊錢（啊？為什麼原地不動也要付一塊錢呢？這個……一方面是比喻而已，再說你可以把一塊錢看成某種起步費。何況在大部分城市的地鐵裡，你進去又馬上出來，的確是要在電子卡裡扣掉一點錢的）。同樣，矩陣I第一行第二列的那個二是說，你坐I號線從A地到B地，需要二塊錢。但是，如果從B地回到A地，那麼就要看橫坐標是B而縱坐標是A的那個數字，也就是第二行第一列的那個三。矩陣II的情況同樣如此。

或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？

這裡面，豎的是起點站，橫的是終點站。現在這張表格裡的每一個數位都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要一.五塊車費。

這個問題問得好：你如何把兩個「表格」乘起來呢？

我們再來回顧一下玻爾理論說了些什麼。它說，原子中的電子繞著某些特定的軌道以一定的頻率運行，並時不時地從一個軌道躍遷到另一個軌道上去。每個電子軌道都代表一個特定的能級，因此當這種躍遷發生的時候，電子就按照量子化的方式吸收或者發射能量，其大小等於兩個軌道之間的能量差。

這便是一種經典的解法，每一個車站都被假設具有某種絕對的「車費能級」，就像原子中電子的每個軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是和_圖_書從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變數來解決，這是一個一維的傳統表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統解法。

更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變數，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。

A 13

A B

B 41

好吧，某些讀者可能已經不耐煩了，它們的確是兩種不同類型的東西，可是，這種區別的意義有那麼大嗎？畢竟，它們表達的，不是同一種收費規則嗎？但事情要比我們想像的複雜多了，比如玻爾的表格之所以那麼簡潔，其實是有這樣一個假設，那就是「從A到B」和「從B到A」，所需的錢是一樣的。事實也許並非如此，從A到B要一塊錢，從B回到A卻很可能要一.五元。這樣玻爾的傳統方式要大大頭痛了，而海森堡的表格卻是簡潔明瞭的：只要修改B為橫坐標A為縱坐標的那個數位就可以了，只不過表格不再按照對角線對稱了而已。

我們回想一下前面史話的有關部分，玻爾模型的建立有著氫原子光譜的支持。每一條光譜線都有一種特定的頻率，而由量子公式E一-E二＝hν，我們知道這是電子在兩個能級之間躍遷的結果。但是，海森堡爭辯道，你這還是沒有解決我的疑問。沒有實際的觀測可以證明某一個軌道所代表的「能級」是什麼，每一條光譜線，只代表兩個「能級」之間的「能量差」。所以，只有「能級差」或者「軌道差」是可以被直接觀察到的，而「能級」和「軌道」卻不是。

為了說明問題，我們還是來打個比方。小時候的樂趣之一是收集各種各樣的電車票以扮作售票員，那時候上海的車票通常都很便宜，最多也就是一毛幾分錢。但規矩是這樣的：不管你從哪個站上車，坐得越遠車票就相對越貴。比如我從徐家匯上車，那麼坐到淮海路可能只要三分錢，而到人民廣場大概就要五分，到外灘就要七分，如果一直坐到虹口體育場，也許就得花上一毛錢。hetubook.com.com當然，近兩年回去，公交早就換成了無人售票和統一計費——不管多遠都是一個價，車費也早就今非昔比了。

物理學，海森堡堅定地想，應當有一個堅固的基礎。它只能夠從一些直接可以被實驗觀察和檢驗的東西出發，一個物理學家應當始終堅持嚴格的經驗主義，而不是想像一些圖像來作為理論的基礎。玻爾理論的毛病，就出在這上面。

嗯，聽起來不錯，而且這個模型在許多情況下的確管用。但是，海森堡開始問自己。一個電子的「軌道」，它究竟是什麼東西？有任何實驗能夠讓我們看到電子的確繞著某個軌道運轉嗎？有任何實驗可以確實地測出一個軌道離開原子核的實際距離嗎？誠然軌道的圖景是人們所熟悉的，可以類比於行星的運行軌道，但是和行星不同，有沒有任何法子讓人們真正地看到電子的這麼一個「軌道」，並實際測量一個軌道所代表的「能量」呢？沒有法子，電子的軌道，還有它繞著軌道的運轉頻率，都不是能夠實際觀察到的，那麼人們怎麼得出這些概念並在此之上建立起原子模型的呢？

I號線（矩陣I）：

那麼，怎樣才能僅僅從這些可以觀察的事實上去建立我們的車費規則呢？海森堡說，傳統的那個一維表格已經不適用了，我們需要一種新類型的表格，像下面這樣的：

現在玻爾和海森堡分別被叫來寫一個關於車費的說明貼在車子裡讓人參考。玻爾欣然同意了，他說：這個問題很簡單，車費問題實際上就是兩個站之間的距離問題，我們只要把每一個站的位置狀況寫出來，那麼乘客們就能夠一目了然了。於是他就假設，A站的座標是0，從而推出：B站的座標是1，C站的座標是1.5，D站的座標是2.5，而E站的座標是4.5。這就行了，玻爾說，車費就是起點站的座標減掉終點站的座標的絕對值，我們的「座標」，實際上可以看成一種「車費能級」，所有的情況都完全可以包含在下面這個表格裡：

回到正題，在玻爾和索末菲的舊原子模型裡，我們已經有了電子運動方程和量子化條件。這個運動同樣可以利用傅立葉分析的手法，化作一系列簡諧運動的疊hetubook.com.com加。在這個展開式裡的每一項，都代表了一個特定頻率。現在，海森堡準備對這個舊方程進行手術，把它徹底地改造成最新的矩陣版本。但是困難來了，我們現在有一個變數p，代表電子的動量，還有一個變數q，代表電子的位置。本來，在老方程裡這兩個變數應當乘起來，現在海森堡把p和q都變成了矩陣，那麼，現在p和q應當如何再乘起來呢？

讓我們把習題完整地寫出來。現在，boys and girls，這道題目的答案是什麼呢？

現在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的「絕對座標」是什麼。比如我從C站乘車到D站，無論怎麼樣我也無法觀察到「C站的座標是1.5」，或者「D站的座標是2.5」這個結論。作為我——乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是「從C站到達D站要花一塊錢」，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規則，只能以這樣的事實為基礎，而不是不可觀察的所謂「座標」，或者「能級」。

一九二五年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛二十四歲。儘管在物理上有著極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢遊的時候，他高興得不能自已，甚至說「我連一秒鐘的物理都不願想了」。

不過，這只說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象徵了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創出一個前所未有的大時代來。「男孩物理學」這個帶有傳奇色彩的名詞，也將在物理史上鐫刻出永恆的光芒。

II號線（矩陣II）：

讓我們假設有一班巴士從A站出發，經過BCD三站到達E這個終點站。這個車的收費沿用了我們懷舊時代的老傳統，不是上車一律給二塊錢，而是根據起點和終點來單獨計費。我們不妨訂一個收費標準：A站和B站之間是一塊錢，B和C靠得比較近，0.5元。C和D之間還是一塊錢，而D和E離得遠，二塊錢。這樣一來車費就容易計算了，比如我從B站上車到E站，那麼我就應該給9.512＝3.5元作為車費。反過來，如果我從D站上車到A站，那麼道理是一樣的：10.51＝2.5塊錢。

A 12

B 31

量子論的發展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦一九〇五年提出光量子假說的時候，也才二十六歲。玻爾一九一三年提出他的原子結構的時候，二十八歲。德布羅意一九二三年提出相波的時候，三十一歲。而一九二五年，當量子力學在海森堡的手裡得到突破的時候，後來在歷史上閃閃發光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利二十五歲，狄拉克二十三歲，烏侖貝克二十五歲，古德施密特二十三歲，約爾當二十三歲。和他們比起來，三十六歲的薛定諤和四十三歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為「男孩物理學」，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做「波恩幼稚園」。

在經典力學中，一個週期性的振動可以用數學方法分解成為一系列簡諧振動的疊加，這個方法叫做傅里葉展開。想像一下我們的耳朵，它可以靈敏地分辨出各種不同的聲音，即使這些聲音同時響起，混成一片嘈雜也無關緊要，一個發燒友甚至可以分辨出CD音樂中樂手翻動樂譜的細微沙沙聲。人耳自然是很神奇的，但是從本質上說，數學家也可以做到這一切，方法就是通過傅立葉分析把一個混合的音波分解成一系列的簡諧波。大家可能要感嘆，人耳竟然能夠在瞬間完成這樣複雜的數學分析，不過這其實是自然的進化而已。譬如守門員抱住飛來的足球，從數學上說相當於解析了一大堆重力和空氣動力學的微分方程並求出了球的軌跡，再比如人本能的趨利避害的反應，從基因的角度說也相當於進行了無數風險概率和未來獲利的計算。但這都只是因為進化的力量使得生物體趨於具有這樣的能力而已，這能力有利於自然選擇，倒不是什麼特殊的數學能力所導致。

為了容易理解，我們還是回到我們那個巴士車費的比喻。現在假設我們手裡有兩張海森堡制定的車費表：矩陣I和矩陣II，分別代表了巴士I號線和巴士II號線在某地的收費情況。為了簡單起見，我們假設每條線都只有兩個站，A和B。這兩個表如下：

A B