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別鬧了,費曼先生

作者:理查.費曼
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第四部 堂堂大教授 運氣,其實不簡單

第四部 堂堂大教授

運氣,其實不簡單

於是奧倫便提出一個精采絕倫、該死的積分給我。他從一個他知道答案的復變函數開始,把實部拿掉,只留下虛部,結果成為一道非用圍道積分法不可的題目!他總是讓我洩氣得很,是個很聰明的人。
我說。「再多一些數字!再多一些數字!」我充分理解,用一般算術方法求立方根時,找後面的數字比前面的要難多了,這是苦工呢。
他說,他要比乘法。
我在計算機上試算,錯不了!
我被難倒了:我得用π去除一個有一百位的數字。我沒辦法了!
「哇!你怎麼弄的?」我大叫。
我指指頭,「我在想!」我說,在紙上寫下十二。過了一會我已得出一二.〇〇二。
他們全都在問我問題,我得意極了,這時奧倫剛巧從餐廳外的走廊經過。其實,來羅沙拉摩斯之前,我們早在普林斯頓共事過,他總是比我聰明。例如,有一天,我心不在焉地在玩一把測量用的鋼捲尺——當你按上面的一個鈕時,它會自動捲回來的那種;但捲尺的尾巴也往往會往上反彈,打到我的手。「哇!」我叫起來,「我真呆,這東西每次都打著我,我卻還在玩這東西。」
這並沒有太大分別,他還是比我快很多。
因此,我也知道e的〇.七次方差不多等於二。當然,我也知道e的一次方的值,那就是二.七一八二八。
「Raios cubicos!」他說,聲音充滿復仇氣息。立方根!他想用算術方法求立方根值!在基礎算術題目中,大概再找不出比這更難的題目了。而在他的算盤世界中,立方根也一定是他的拿手項目。
他們替我找來紙筆。
一個服務生說:「你在幹嘛?」
計算機也是二三〇四,「嘩!真厲害!」我說。
「好吧,」我說,「答案是二〇.〇八五。」
他們在表中找到結果了:「他居然答對了!你是怎麼算出來的?」
他們要考我的第一個數字是e的三.三次方,那等於e的二.三次方——即等於十——乘以e,即二七.一八。而當他們忙著找https://m•hetubook•com.com出我所用方法的同時,我在修正我的答案,計算出額外的〇.〇〇二六,因為我原來的計算是用了較高的值,即二.三〇二六。
有一次我誇口:「其他人必須用圍道積分法來計算的積分,我保證能用不同方法找出答案。」
我明白這種事情可一不可再,因為剛剛不過全憑運氣而已。但這時他又說e的三次方,那就是e的二.三次方乘以e的〇.七次方,我知道那等於二十再多一點點。而當他們在忙著擔心我到底是怎樣計算時,我又替那〇.六九三作修正。
而現在奧倫剛巧經過餐廳,這些人都興奮極了,「嘿,奧倫!」他們喊:「費曼真行啊!我們十秒鐘內說得完的題目他就能在一分鐘內給出答案,誤差十%。你也來出個題目吧!」
「嘿,」我說:「這是辛苦工呢!一天只能算一題!」
那些服務生興奮極了,他們跟日本人說:「瞧,他光想想就行了,你卻要用算盤!而且他多算出些數字!」
服務生怕丟面子,因此他們說:「是嗎?你為什麼不去跟那邊那位先生挑戰?」
塔奇明白我不大可能單靠心算得到這答案的:「嘿!你是怎麼算的?」
他們一直搞不懂我是怎樣算出來的。
日本人把額上的汗擦掉,「十二!」他說。「哦,不!」
很小的時候,我就很喜歡研究級數。我用這個級數方程式計算出e值,親眼看到每一個新出現的項,如何很快地變得很校當時我喃喃自語,用這方程式來計算e的任何次方(或稱「冪次」)是多麼容易的事。
然後他犯了個錯誤:他建議我們繼續比除法。他沒意識到,題目愈難,我贏的機會就愈大。
他在紙上寫了個數字——隨便寫的——我還記得那數字是一七二九.〇三。他立刻展開計算,口中唸唸有詞,動作不斷!
這個顧客是如何打贏算盤的?題目是一七二九.〇三。我剛巧知道一立方英尺有一七二八立方英吋,因此答案必定是十二多一點點。和圖書多出來的一.〇三呢,大約是二千分之一,而我在微積分課裡學過,就小分數而言,立方根超出的部分是數字超出部分的三分之一,因此我只需要算一/一七二八是多少,再乘以四(即除三再乘十二)。這是為什麼我一下就能算出那麼多小數位。
事情的真相是這樣的:我碰巧知道三個數字的值——以e為底的十的對數Loge10(用以將數字從十為底換到以e為底),這等於二.三〇二六;又從輻射研究(放射性物質的半衰期等),我知道以e為底的2的對數(Loge2)等於〇.六九三一五。

接受挑戰

接下來的兩星期,我無論走到哪裡,都在按這捲尺,手背都被打得皮破血流了。終於我受不了。「奧倫!我投降了!你究竟用什麼鬼方法來握,都不會痛?」
他認得我,跑過來說:「告訴我,你怎麼能那麼快就把立方根算出來?」
我發現:他根本不懂得怎樣處理數字。有了算盤,你不必記誦一大堆的算術組合;你只需要知道怎樣把小珠子推上撥下。你根本不必知道九加七等於十六,而只需要記住加九時,要推一顆十位數的珠子上去,撥一顆個位數的下來便好了。也許我們算得較慢,但我們才真正懂得數字的奧妙。
「哈!證明他是騙人的!」他們樂不可支。
而我則只坐在那兒。
「沒有人能算得那樣快的。你一定是剛巧知道那個答案。e的三次方又等於多少?」
有一天我心情特別好,那時剛巧是午飯時間,我也不曉得是怎麼搞的,心血來潮地宣佈:「任何人如果能在十秒鐘內把他的題目說完,我就能在六十秒之內說出答案,誤差不超過十%!」
「咦,是嗎?」他們說:「那麼,e的三.三次方等於多少?」有個小鬼說——我想那是塔奇說的。
「噢,」他說:「二.五的對數是——。對數的三分之一是一.三的對數,即——,以及一.四的對數,即多少多少之間,我就用內插法把它求出來。」

遇到箇中高手

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「你不知道怎樣計算接近五十的數字的平方嗎?」他說:「你先算五十的平方,即二五〇〇,再減去你要計算的數及五十之間的數差(在這例子中是二)乘以一百,於是得到二三〇〇。如果你要更精確,取數差的平方再加上去,那就是二三〇四了。」
這使得那日本人很懊惱,因為看來他曾經受過很好的算盤訓練,但現在他居然差一點就敗給餐廳裡的一個顧客。
於是我發現:第一,他能背對數表;第二,如果我像他那樣用內插法的話,所花的時間絕對要比伸手拿表和按計算機的時間長得多。我佩服得五體投地。
那人請一個服務生出一些數字讓我們加。他贏太多了,因為當我還在把數目字寫下來時,他已經邊聽邊加。
「自己想想吧!」
通常我想到的,他都想到,我很少能算得比他快。而如果我算出一題的話,他就開懷大笑起來。無論什麼題目,他總是能算出來,誤差差不多都在一%以內。對他而言,這簡直是輕而易舉——任何數字總是接近一些他早已熟悉的數字。
我們同時做了一題很長的除法題。這次我們平手。
我說,「那很容易。答案是二七.一一。」
「誰說不痛?我也痛啊!」
當他們在查e值表時,我又多給他們幾個小數位,說:「這是今天的最後一題啦!」便走出去了。
從此以後,我也試著這樣做。我背熟了幾個數字的對數值,也開始注意很多事情。比方有人說,「二十八的平方是多少?」那麼注意二的平方根是一.四,而二十八是一.四的二十倍,因此二十八的平方一定接近四百的兩倍,即八百上下。
他有點得意忘形,想更進一步證實他的能力。「Multiplicao!」
「我把級數一項一項計算,然後再加起來。」
另一個傢伙說:「你們都曉得費曼,他只不過在唬人罷了,這答案一定不對。」
在普林斯頓時,有一天我坐在休息室裡,聽到一些數學家在談論e的級數。和-圖-書把e展開時,你會得到1+x+(x2/2!)+(x3/3!)十——。式中每一項,來自將前一項乘以x,再除以下一個數字。例如,要得到(x4/4!)的下一項,你可把它乘以x和除以5。這是很簡單的。
我覺得自己真的有夠笨,竟讓他騙我拿著尺打自己打了兩個禮拜!
此外,他根本無法理解求近似值方法所包含的道理,他不明白在很多情況下,任何方法都求不出完整的立方根,但可以求近似值。因此我永遠無法教會他我求立方根的方法,甚至讓他明白那天我有多幸運,因為他剛好挑了個像一七二九.〇三這樣的數字!
他們跑去找e值表,趁此空檔我又多算了幾個小數位:「二七.一一二六,」我說。
他重新埋頭苦幹,口中「啊咕嚕麼麼」的不停,其間我又多寫了兩個數字。最後他抬起頭來說:「十二.〇!」
剛到巴西時,有一次我在某家餐廳裡吃午餐。我不知道那時是幾點鐘了,但那裡只有我一個顧客——我老是在奇怪的時間跑去餐廳。我吃的是我很喜愛的牛排配飯,四個服務生在旁邊閒站。
做了這兩題後,我確實覺得沒法再多算一題了,因為第二題也全靠運氣才算出來的,但他們再提出來的數是e的一.四次方,即e的〇.七次方自乘一次,那就是四再多一點點而已!
於是,眼前這些數學界的精英分子,全都想不通我是如何計算出e的某次方!有人說:「他不可能真的代入數字,一項一項地加起來的——這太困難了。其中一定有什麼訣竅。你不可能隨便就算出像e的一.四次方之類的數值。」
一個日本人走進來。以前我就見過他在附近流浪,以賣算盤為生。他跟服務生談話,並提出挑戰:他的加法可以比任何人都快。
我說:「這確是很困難,但好吧,看在你的份上,答案是四.〇五。」
幾分鐘之後,我們要取二.五的立方根。那時候,用計算機算任何數字的立方根之前,我們先要從一個表裡找出第一個近似值。我打開抽屜去拿表——這次時間和-圖-書較多——他說:「大約1.35。」

有頭腦才有運氣

大家便開始把他們認為很困難的問題丟給我,例如計算1/(1+x4)的積分等。但是事實上,在他們給我的x範圍內,答案的變化並不太大。他們提出最困難的一題,是找出(1+x)20中x10的二項式係數,我剛好在時間快到時答出。

口出狂言

如果有人要知道一.七三除一是多少,你可以立刻告訴他答案是〇.五七七,因為一.七三差不多等於三的平方根,故此一/一.七三就差不多等於三的平方根再除以三,而如果要計算一/一.七五呢,它剛好是四/七,你知道一/七那有名的循環小數,於是得到〇.五七一四八——跟貝特一起應用各種訣竅做快速心算,真是好玩極了。
到了羅沙拉摩斯,我發現貝特才是這類計算的箇中高手。例如,有一次我們正把數字代入方程式裡,需要計算四十八的平方。正當我伸手要搖瑪燦特計算機時,他說:「那是二三〇〇。」我開始操作計算機,他說:「如果你必須要很精確,答案是二三〇四。」
日本人向我走過來,我抗議:「我不大會講葡萄牙語!」
他差不多腳步也沒停下來,說:「十的一百次方的正切函數值。」
我告訴他這是個求近似值的方法,跟誤差有關,「比方你說二十八。那麼,二十七的立方根是三——」他拿起算盤:噠噠噠噠——「噢!是的。」他說。
他潰不成軍,垂頭喪氣地走了,服務生則大肆慶祝。
服務生全在笑:「葡萄牙文的數字很容易!」
有人寫了個題目,他又贏了,但贏不多,因為我的乘法是相當好的。
他已開始計算立方根了。
幾星期後,那個日本人跑到我下榻的旅館會客廳裡。
他說:「你的握法不對,」把捲尺拿過去,尺拉出來,按鈕,捲回來,他不痛。
我提議服務生寫下兩列相同的數字,同時交給我們。
他們連忙查表,我同時又多加了幾個小數位。他們全部緊張起來了,因為我又答對了一題!
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