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一年過一年，在幾何星人的努力下，梯子的長度不斷增加，卻總是徒勞無功。每次派人爬上梯子，最後都是回來說梯子不夠長。

問題是，誰的測量結果才算「真實」呢？

實際上，幾何星人一面往上爬，身軀和梯子就一起逐漸縮小，所以根本不可能到達行星表面（在絕對零度的溫度下，他們會縮小到完全消失）。然而，他們愈往上爬，雖然會因溫度降低而導致身體縮小，htｔps://ｍ.hｅtｕｂｏｏk.coｍ•cｏm但是他們的量尺和其他物品也都一起縮小，因此他們根本不知道自己變小了。最後，幾何星人終於認定他們的行星無限大；然而，實際上當然不是如此。

龐加萊的論點很簡單。就我們對自然界的日常經驗而言，他的故事雖然匪夷所思，但是故事裡的一切卻都完全符合邏輯的規範。不過，這則故事也讓我們理解到，不論是幾何學的真理還是宇宙的定律https://ｗｗｗ•ｈetuｂooｋ•com•ｃom，其實都不是完全確切無疑。氣體人說他們的星球無限大，由於他們永遠達不到地表，因此這項看法對他們來說確實沒錯；然而，在途經該處的太空旅客眼中，這些氣體人的看法則只是幻象。

氣體人——姑且稱為「幾何星人」——在這顆星球上活動，會出現一種細微的變化：只要離地心愈遠，他們的身體就會隨著溫度降低而變小；而且，不只是他們變小，所有的生物與文和-圖-書物也都會因溫度降低而變小。最重要的是，所有物體變小的比例都相同，因此不會出現大小失衡的現象。

龐加萊為幾何星人和幾何學家提出的答案都一樣：沒有哪一種測量方式才是「真實正確」的——一切都只是約定俗成的結果。

有一年，幾何星人決定到行星表面探險，於是製作了一把又高又大的梯子，立起來一路延伸到雲霧中。然後，一名幾何星人開始往上爬，任務是要確認這顆氣體行星的地殼有多和*圖*書厚。所有人都為此興奮不已，但是，這個人卻在幾天後回到地心，指稱梯子根本不夠長。

龐加萊接著指出：

實驗所需的特殊器材：高可登天的梯子

古希臘幾何學家遺留下的一個傳統，就是尊崇這門學https://www.hetubook.com.com科的永恆真理，並且認定這些真理確切無誤。不過，三角形的內角總和是否一定是一百八十度？平行線是否真的永不相交？這兩者的前提要件是我們必須假設空間是「平的」。

想像一顆完全由氣體構成的行星，行星中心的溫度非常高，是氣體人演化出來的地區，也是他們生活的地方。不過，行星表面的溫度卻非常低；實際上，根據龐加萊（Ｈｅｎｒｉ　Ｐｏｉｎｃａｒé）所說，這顆行星的表面溫度為絕對零度（這一點的重要性會在下文交代）。