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改變歷史的書

作者:唐斯
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自然科學類 世界體系的創建者——牛頓及其「數學原理」

自然科學類

世界體系的創建者
——牛頓及其「數學原理」

「數學原理」的大要

在尚未年滿二十五歲時,牛頓便已完成了三大發明,這三項發明已足以使他躋身於古今最偉大的科學家之中而毫無愧怍。這三大發明便是——
第三、是更為重要的研究結果,即震動世界的「萬有引力定律」(Law of universal gravitation)。這一定律被稱為在近世以來的純粹理論發明中,對科學家們的想像力影響最大的。根據眾所周知的記載,牛頓發明的這個定律,是由於他看到蘋果從樹上落到地面來。不過,地球能引致物體落在地面上來的這一想法,即在牛頓時代也並非甚麼了不起的新觀念。牛頓之貢獻乃在於:他證明了引力定律在實際運作中是有普遍性的——其力量的強度,正不下於天體星球之間吸引的力量,然後,他又對於他的理論提供了數學上的證據。

聖誕節出生的天才

對於「數學原理」這部書,要想用日常所用的語言來做一個簡潔的說明,是十分困難的事情,此處祇能略述其要點。全書是在以數學的方法,說明星體的運動,尤其是對太陽系中力學與萬有引力定律的適用等。全書始於對牛頓自己發明的微積分的解釋;微積分在全書中都用為計算的主要工具。然後,是有關時間與空間的定義;以及他自己發明的運動定律的說明,這部分附有若干圖解。書中說明最基本的原理是,物體的每一分子都被別的分子所牽引,引力是與分子間的距離平方成反比。同時他也寫出了自然力使星球之間不致於互相碰撞的各種定律。這些定律都用幾何圖形來加以說明。
牛頓完成了微積分、光與引力的三大發明之後,當時卻並沒有發表任何東西。牛頓本性沉默寡言,深自謙抑,對於引起公眾注意和討論的事,皆為他深所不喜。因此,他最初對於研究所得的結論不願發表。後來,還是在師友的督促勸勉之下才公諸於世。可是,一經發表之後,雖然他的聲譽立即轟傳一時,他自己卻頗表後悔。因為這些作品的發表總不免引起批評和討論,這都是他不感興趣的。

推翻了「漩渦」的說法

對於牛頓那篇論文大加攻擊的人中,包括了當時聲名顯赫的科學家如惠根士和胡克等人。牛頓對這些「名家」的食古不化,不明事理,深惡痛絕;他甚至於決定以後再也不要發表文章,免惹無謂的煩惱。有一度他對於科學本身也失去了興趣,一再說他對科學不復如從前的熱愛了。據他自己說,後來他開始寫「數學原理」時,「乃是再三受人驅迫、哄騙、與勸誘的結果。」事實上,「數學原理」這部偉大作品的寫作與完成,多少有些偶然的成分在內。
由於萬有引力定律的適用,牛頓說明了潮汐漲落的原因。在滿月當頭之時,地球便受到它最大的吸力,於是潮水上漲。太陽也同樣有吸引潮水的作用,所以當太陽與月亮轉到一條線上的時候,潮水便漲得最高。
按照牛頓的「攝動」學說(theory of pertubations),他證明月球是被日球和地球所吸引的;雖然地球對月球的吸引力較強,月球運行的軌跡卻因日球的牽引而有所改變。同樣的其他行星也成了攝動的對象。牛頓一反當時的說法,他指出,日球並非宇宙固定的中心;不過它也受各行星的吸引,正如它吸引各行星一樣;因此循同樣的方式運行。過了若干年之後,由於牛頓的攝動學說,天文學家又發現了海王星和冥王星兩顆行星。
「數學原理」講的都是宇宙間種種現象,並沒有解釋造成這種種現象的原因;換言之,它祇討論「如何」而不涉及「為何」。牛頓在此書出版後,為答覆讀者的批評,曾聲明他的書完全是一種機械式的說明,絕不敢對於至高無上的創造者締造宇宙的最高動機妄加一詞。「數學原理」第二版出版時,牛頓曾在書中加上下面一段自白,以說明他個人的信念——
「在前而的幾卷中,我確立了哲學的(按:當時用語以哲學代表學問,其意是指科學的)原則;這些原則實非哲學的,而是數學的……這https://www.hetubook.com.com些原理是某些有關力與運動的定律與條件……我對這些定律都予一一說明,並對更具普遍性的事物特加討論,譬如星體的比重與阻力,各種星球之間的空間,以及光與聲音的運動等。根據此一原理,我展示了世界體系的骨幹。」
這時,牛頓已經是頗負時譽的數學家了。有一位天文學家哈雷(Edmund Halley)特別到劍橋大學來拜訪他,並且請求他賜予協助。在他們交談之間,哈雷發現他所提出的問題,牛頓在兩年之前就已經解決了。而且,牛頓更已經把物體在引力影響之下運轉的主要法則都完成了。不過,由於他個性的關係,這些研究的結果他一時並不想發表。
第一、他發明了微積分。當時是稱為「流分法」(fluxions)。微積分是以流體式變數為對象,涉及所有有關流動、波浪、以及各種物體的運動等現象。所以,凡要解決任何有關運動的物理學問題,微積分都是必要的。因此有人說,牛頓發明微積分,猶之乎打開了數學寶庫的大門,並且是將整個的數學世界,「都置於牛頓及其追隨者的足下。」

站在巨人的肩頭上

不過,到了二十世紀,科學上的新發明動搖了或修正了牛頓學說中的某些理論,尤其是與天文學有關的部份為然。譬如說,愛因斯坦的相對論,證明空間與時間都並不是如牛頓所說是「絕對」的。然而,也有許多位科學技術方面的權威學者指出,牛頓的學說與理論,至今仍有相當用處;譬如建造摩天大樓、建造鐵路大橋、研究一輛摩托車的行動、一架飛機的飛行、一艘橫渡大洋的船艦的航行、空間與時間的測量等,這都是現代文明中的問題,但主要都仍靠牛頓留下來的定律去解決。詹恩士(Sir James Jeans)特別解釋說,牛頓理論「唯有在涉及現代科學中最精微的部份時,才顯得不適用。今天,如果一位天文學家要編航海曆,或者討論行星的運轉,他幾乎完全可用牛頓的定律。一個工程師如果要造橋樑、船舶或火車頭,他也是要用牛頓的定律。就如同這些定律被證明『不適宜』之前一樣。電機工程師也是一樣,無論他是小至修理電話機或大至設計一座電廠。日常生活所需的科學,至今仍是靠了牛頓。仰賴於牛頓那清明透澈的慧心,才將這種科學引上正路。凡是真正瞭解了他的方法的人,都不會對這些方法之正確有何懷疑。」

出書之後意趣索然

這一次,牛頓對於自然界的這一重大秘密的發現,又沒有立即發表。當時還有些別的科學家們也在致力研究同一個問題。有幾位天文學家建議,各行星是因引力的關係附屬於太陽。提出這種說法的天文學家之中,有一位是對牛頓批評得最厲害、最堅持的胡克(Robert Hooke)。不過,這些天文學家之中,沒有一個人能提出任何數學上的證據。
荖名數學家拉葛蘭琪(Joseph Louis Lagrange)對牛頓更是歸心頂禮,直稱他為「有史以來最偉大的天才。」

類似之因類似之果

當寫作中間,牛頓還要不時受到外來的干擾,尤其是來自胡克的種種譏評。胡克自己說,關於行星運轉理論中的某一部份,他才是真正的「創始人」。這時的牛頓已將「數學原理」的初稿完成了三分之二,他由於被胡克的無理要求所激怒,並想從此輟筆;那後面的三分之一,也正是全書中最為重要的部份。牛頓如果不寫當時是沒有別的人能寫得出來的。最後,還是靠好友哈雷費了一番唇舌,使牛頓按照原來的計劃次第完成。
牛頓自己更是深切瞭解,他的「世界的體系」,他所解釋的宇宙的運作,都是建基在由哥白尼到喀卜勒與伽利略諸大師的發明之上。
另外一個為一般人很感興趣的題目,便是彗星。牛頓的理論是,彗星在太陽的引力之下循著橢圓形的路線運動,具有令人難以相信的強大光度,往往要許多年才算「流浪」完成。在過去,彗星曾被認為是「天和-圖-書心示警」的不祥之兆,經牛頓解釋之後,大家才逐漸相信,彗星乃是天空中美麗而毫無傷害作用的一種現象。牛頓的好友哈雷,運用牛頓的理論發現了所謂「哈雷彗星」,他不但能夠辨識這些彗星,而且能準確地預言,每隔七十五年那彗星就會再度出現一次。一顆彗星一旦被發現之後,它未來的運轉路線就可以很準確地計算出來。這與我們一般相信的彗星一閃而過,瞬即消失的說法,是大為不同的。

攝動說與地球質量

「數學原理」經過了重重波折,終於在一六八七年出版了;第一版是小型的版本,五百一十頁。(前面已說過,此書原著為拉丁文,英譯本則到一七二九年始出版。)第一版當時的售價大約是十個或十二個先令。在書名頁上,有當時皇家學會會長裴畢士(Samuel Pepys)的「核准出版」(imprimatur)的記載。但後世的評論家則認為,空有「飽學之士」頭銜的裴畢士,在「數學原理」整整一部書中,究竟是否能懂得一句,實在是大可懷疑的事。「核准」云云,不過是極無聊的官樣文章而已。
在所有對於人類曾發生重大影響的著作之中,很少有一本書像牛頓的「數學原理」那樣為千千萬萬人頌揚讚嘆,而真正讀過的人卻寥寥可數。
法國的天文學家賴普雷斯(Pierre Simon Laplace)曾說,「數學原理」較人類中天才所製作的任何成果,更為偉大。
牛頓(Isaac Newton,1642~1727)這部書的全稱是「自然哲學之數學原理」(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica),作者似乎是有意使用最玄奧的拉丁文寫成,並夾以極複雜的幾何圖解甚多;因此,此書的讀者自然限於高水準的數學家、天文學家和物理學家。
哈雷在「數學原理」這部書完成的過程中,功蹟之大也許僅次於原作者。他不僅鼓勵牛頓去完成這一工作,同時他還與皇家學會交涉,由該會同意出版牛傾的大著。當這部書最後付印時,哈雷放棄了自己手上的一切工作,去監督印刷事宜。最後,皇家學會突然推翻了原有的諾言,不肯支持這本書的出版。這時,哈雷又挺身而起,雖然他自己也不過是個中產階級的知識份子,而且有一家人要養活;但是,他由於對真理、對知識的熱愛,毅然承擔一切,從他自己荷包中掏錢出來,付清了全部的紙張印刷費用。
「數學原理」這部大著,是在十八個月期間完成的。據說:在這段期間,牛頓由於全神貫注於寫作,常常忙得忘了吃飯,覺也睡得極少。當然,也唯有像他這樣集中了全部心力與時間,才能夠在那麼短的時間內完成這樣一部震古鑠今的偉大著作。當「數學原理」全書脫稿之後,牛頓由於工作過度,已經是心力交瘁形神枯槁了。
一六八四年,由法國天文學家皮卡德(Jean Picard)計算出來地球周線的正確長度,這是科學史上第一回確定這個長度。牛頓就將他的資料,用之於引力原理,證明了那使月亮繞地球而行以及使各行星繞日球而行的力量,都是由於引力的緣故。引力與物體的質量成正比,並與其距離的平方成反比。牛頓並由此說明了行星的橢圓形的軌跡。引力的牽引使月球與各行星都能循著各自的軌跡而運轉,並且與它們運轉而生的離心力相平衡。

皇家學會推翻諾言

牛頓有一段話,特別說明他為何不把這本書寫成「大眾化」的讀物。他說,他本來有意將第三卷寫成普通人都能看得懂的書;不過他後來又覺得,一個人如果不能深切瞭解前面所講的數學原理,一定就無法完全領悟到這些原理所產生後果的力量,也一定無法撇開多年來積非成是的許多偏見。他說,「為了避免因此引起無謂的爭辯,所以我將此書的內容,完全簡化為數學中定理的形式,讀者必先深切瞭解前面所講的原理,才能讀通全書。」
在大瘟疫造成的強制隔離以及由此得來的閒暇時期之後和_圖_書,牛頓再度回到劍橋,修完了碩士學位,出任聖三一學院教職。不久,他的恩師巴羅告老退休,牛頓才以二十七歲的英年,升任為數學教授;他擔任這個職務一共有二十七年之久。在這二十來年間,大家都不大聽到牛頓的消息。他仍在繼續研究光學,並且發表了一篇有關白光混合性質的論文。不意此文一經發表,立即引起熱烈的辯論,因為他所得到的結論與當時流行的理論正相反;同時也由於他在這篇論文中說明了他的科學的哲學。牛頓表明他的基本觀點:即科學的主要任務,是進行計劃極為周密的試驗,然後,將這些試驗進行中的觀察所得,詳加紀錄;最後,根據試驗的結果,寫成數學式的定理和定律。用牛頓的話說,「窮求事理之正確方法,應自試驗結果中演繹而得。」這些原則雖然與現代科學研究的理論完全相合,但在牛頓時代顯然尚未被一般學者所同意。當時的所謂信念乃得自想像、思索與觀察事物之表面而來,而且常常是因襲古代哲學家的學說,對於試驗所得的證據都不肯輕信。
哈雷立即看出了牛頓這些發現的重要性,並盡其全力敦促極為固執的牛頓,這些重大的發現應該公之於世以供進一步的研究發展與運用。由於哈雷的殷勤勸勉,使得牛頓自己的興趣也為之復燃,於是就開始動筆寫下了他一生中最重要的作品:「數學原理」。美國哲學家蘭傑爾(Susanne Langer)說,這是一部「歷代機械論哲學的水庫,而且是有史以來最富於原創性的著作之一。」
在第三卷題名為「世界的體系」中,牛頓討論了由於萬有引力定律在天文現象上所造成的後果,這是他寫得最精采的一部份。他說——
第三卷中所討論的問題,單看目錄已足以令人印象深刻。行星運轉以及衛星圍繞著行星而運轉,在此書中予以確定。測量日球與各行星質量的方法在此書中提出。還有地球的比量、歲差(the precession of the equinoxes)、潮水漲落的理論、彗星軌道的度測、月球運轉的計算等等有關的問題,都一一討論並予解答。
在牛頓身後的一位傳記作者曾說,當「數學原理」在十七世紀末葉問世之時,當時能夠真正瞭解這部書的人不過三四位而已。另外一種比較「寬大」的估計,認為最多不過十來個人真懂得它。作者牛頓本人承認這是一本「十分艱深的書」。但他並不因此而稍感歉憾,因為他是有意如此,他本來就是要寫給對數學有精深研究的人去讀的。
「這一至美至善的包容了日球、行星、彗星的大系統,唯有出於全知全能的上帝之主張……猶如一個盲人對於顏色毫無觀念,我們對於全能上帝理解萬事萬物的方法,也是一無所知。」
牛頓在少年時代,親歷克倫威爾(Oliver Cromwell)在英國推行所謂「共和」其名、造反其實的共和政體,於一六五七年的倒台;經歷過一次有名的大火災,倫敦全城幾乎都成為灰燼;接著又是一場大瘟疫,倫敦全城人口三分之一都染疫而死。他避居在華索普的小農莊中達十八年之久,然後被送到劍橋大學去讀書。
有人說,牛頓是生活在一個到處是天才數學家的時代中的數學魔術師。很多寫科學史的人都同意:十七世紀是數學最為光輝燦爛的時代,正如同十八世紀之於化學、十九世紀之於生物學;馬文曾說,「在十七世紀的後四十年,人類看到的進步,為歷史上其他時期所未有的。」
牛頓由計算地球的質量,決定了各行星與日球的質量。他估計地球與水的比重約為五至六倍(目前科學家使用的數字是五點五),牛頓就在這一基礎上計算了日球、行星與衛星的質量。牛頓的這些發現,被史密斯(Adam Smith)稱為「超乎人類理知與經驗以上」的成就。
在「數學原理」出版之後,牛頓又活了四十年;說來奇怪,此書完成後,牛頓對於科學研究的興趣一點兒也沒有了。在這後四十年間,他接受了無數的榮譽:安妮女王封他為爵士,出任過造幣廠廠長,後來又當選了英國皇家學會和圖書的會長,自一七〇三年一直到一七二七年他病逝時止,歷二十四年之久。他親眼看到「數學原理」這本艱深古奧的書,出了第二版及第三版。在他的晚年,一直受著英國國民乃至各國知識份子極高的崇敬。
美國天文學者甘貝爾(W.W.Campell)說,「在我看來,牛頓爵士自然是歷史上最偉大的物理學家;同時,也是天文物理學卓越的先鋒。」
在第二卷中,牛頓極有力地推翻了由笛卡兒(Rene Descartes)所建立的世界體系。按照笛卡兒的理論,各種天體的運動是由於漩渦。他認為,所有的空間都有稀薄的流體,因而在某些地方就形成了漩渦。譬如說,在太陽系裡面有十四個漩渦,最大的一個漩渦之中就包含了太陽。各行星的運轉便好像落在漩流中的木屑落葉一樣隨波逐流而去。笛卡兒用這一套說法來解釋宇宙間的引力現象。牛頓在他的書裡面,舉出各種試驗的與數學的方法,證明了「漩渦說與天文學上呈現的事實全然相反,而亦無法解釋各種天體的運行。」
牛頓在將去世前不久,曾對他自己的一生工作做了一番綜合的評價;這些話正反映了他性格中的謙遜。他說,「我不知在世人眼中我是何等人物。我自覺祇是在大海之濱的一個頑童,在沙灘上尋找一些不尋常的光滑的石頭和美麗的貝殼以自遣;真理如汪洋大海,依然在我面前,並未被人發現。」
在牛頓的理論中,與過去種種學說不同的一點是,他堅持在地球與各種天體現象之間,並無甚麼區別。他說,「在自然界中,類似的原因就產生類似的結果。譬如像野獸與人的呼吸,像在歐洲或美洲落下了一塊石頭,像廚房中的火光與太陽光,像光反射在地球上和其他行星上。」他這一說法乃推翻了過去的想法——有些人認為在別的世界裡都是十全十美,唯有我們地球上是不完美的。牛頓而後,人們接受了他的解釋,宇宙間都接受一樣的理性的定律,為人類世界帶來了秩序與體系。
比詹恩士的話說得更好的,是愛因斯坦。這位相對論的發明者雖然修正了牛頓若干理論,但他對牛頓的敬愛並不因此稍減;他說,「對於牛頓來說,大自然便是攤開在他面前的一本大書,他能閱讀書中的每一個字母,毫不費力。他是個集試驗家、理論家、工程師、與善於表達的藝術家於一身的人物。」

輟學鑽研成就驚人

愛因斯坦備致推崇

在劍橋,牛頓受教於著名的數學教授巴羅(Isaac Barrow)的門下;這位教授被人稱為牛頓的「知識之父」。因為,巴羅教授首先發現了牛頓的才賦,善加培植,多方鼓勵,終使他後來能有大成。牛頓在讀大學的時候,就發明了二項式定理。
牛頓相信,科學的作用,乃在建立知識;當我們的知識豐富時,便越能瞭解上帝創造世界的道理——雖然,人類也可能永遠都不能發現支配自然界真正的科學法則。
「數學原理」的第一卷,討論物體在自由空間的運動;第二部份則是討論物體在有阻力的媒介中的運動,譬如在水裡面。然後,關於流體運動的複雜問題逐步討論並予解答,還有有關聲音的速度、波浪的流轉等,他都用數學一一描繪出來。這些工作在外行人看來也許沒有甚麼太大的重要性,但在學自然科學的人則會瞭解,牛頓是為數理物理學、流體靜力學(hydrostatics)、流體動力學(hydrodynamics)等現代科學奠立了基礎。
現代數理物理學先驅鮑茲曼(Ludwig Boltzmann)說,「數學原理」乃是在理論物理學的範圍中的第一本,同時也是最偉大的著作。

三大發明不著一字

上帝造成宇宙體系

牛頓出生於一六四二年的聖誕節,差不多剛好在哥白尼逝世的一百年之後;那年也正是伽利略去世的時候。這兩位天文學界的巨人,再加上喀卜勒的繼續努力,為後來牛頓的學術研究提供了有利的基礎。
第二、牛頓發現了光的組成定理,由此更分析了顏色的性質與白光和圖書的性質。他指出,日光看起來雖似是一片白光,實際上卻是在虹之中各種顏色的光線混合而成的。因此,顏色是光線的特徵;牛頓藉了稜鏡所做的試驗中顯示出來,白光乃是由光譜上各種顏色混合而得。由於這一發現所得到的知識,使牛頓能製成第一座使用起來令人滿意的折射望遠鏡。
「數學原理」雖是人類史上最卓越的成就之一,但它卻並非完全從真空中想像出來的。據柯罕恩(L.Bernard Cohen)說,「牛頓的作品都是以先進的工作為基礎。譬如笛卡兒與佛麥特先發明了解析幾何,歐特里德與哈利奧發展了代數、喀卜勒洛創製了有關運動的定律,伽利略發明了物體下落時的定律。還有伽利略關於速度合成的定律——根據這一定律,一個運動可以區分為某幾個部份,每一部份都是獨立的,譬如像子彈一般的拋射體,是由一個一直前進的速度與一個下落的速度合成的。上述這些理論雖都先已成立,然必待牛頓的大手筆一出,成為一綜合的理論體系。因牛頓的天才完成了點燃火炬的任務,最後,在他手中顯示出來一個有秩序的宇宙,是如何受數學定律的規範。」
十七世紀學術分科未若今日之精密;當時所稱的物理科學,包括了數學、化學、物理學與天文學;牛頓便是一位集大成而又開拓了學術上新疆域的大人物。
當時一般人對於「數學原理」的反應,在英國比歐洲大陸上要熱烈些;不過因為這本書內容過分艱深,所以影響的擴展很慢。但是,各國科學家們以後終於逐漸接受了牛頓所設定的體系,到十八世紀,便成為了科學理論中主要的支柱了。
以上這幾位都是了不起的科學家,他們的讚美當然與外行人泛泛之說不同,在過去約兩百五六十年間,類似的頌禱之詞極多,因而使我們外行人,不能不接受他們的評斷。
然後,牛頓更說明了地球的體積不是正圓形,而是在靠近南極地方呈扁圓形;其扁圓的程度也經計算出來了。由於靠近兩極呈扁圓形,而赤道地帶漸形膨脹,所以牛頓由此推算出來,在地球兩極的引力必較在赤道為小——這一現象使他得據以計算歲差;也賴以算出地球軸心如圓錐形般運轉,好像一個迴旋器一樣。因此,由於研究某一行星的形式,就有可能估計出在那個行星上的白日和黑夜的長度。
由於前述的大瘟疫,劍橋大學於一六六五年被迫停課,牛頓回到鄉下的故居。其後兩年間,他幾乎與外界完全絕緣,閉戶讀書,全神貫注在科學試驗與研究上,他所得到的結果十分驚人。
他自己曾極懇切地說,「如果我曾經比普通人看得稍遠一點,都是由於我是站在巨人們的肩頭。」

彗星並非不祥之兆

歷代的科學家都尊崇牛頓是人類有史以來最偉大的天才之一。他對於人類的貢獻,真可歷百世而不朽,譬如——

好友哈雷鼓勵著書

牛頓的各種發明之中,最令人驚奇的一項是他用以估計各恆星之間距離的方法。他的方法,是先測定某一行星上受到大陽反射光芒的量,從而推定恆星的距離;這的確是出乎人的想像之外的。
作學問的人,沒有這樣謙抑的態度與淡泊的胸襟,是不容易有大成就的。在科學發展史上,牛頓不僅是一個可敬的偉人,而且是一可親的人物。「數學原理」不是人人寫得出的,甚至也不是人人都能懂的;但那種對真理的虔敬,對知識的愛好,卻是人人可以學得到的。
在研究過程中,牛頓也曾遭遇過若干外來的煩擾。在他那個時代,各種新的理論都在醞釀發芽,有很多科學家埋頭苦幹,致力研究。所以,難怪有時候兩個人分頭進行同一個問題的研究,居然在幾乎相同的時候,獲得了相同的答案。這種情形在當時不能算奇怪。這種情形就曾發生在牛頓身上。譬如萊布尼玆(Gottfrid Wilhelm Leibniz)曾發明了微積分,胡克曾發明了萬有引力;他們發明的正確時日,實際都較牛頓為遲;但由於牛頓遲遲不肯發表他自己的作品,在「公諸於世」的先後來講,牛頓都落後了。因此當然引起了若干爭論與紛擾。
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